Números

N Ú M E R O S

Los números son entes abstractos que indican cantidad. Según su naturaleza, estos objetos se agrupan en conjuntos diversos, cada vez más amplios, que con algunas operaciones definidas sobre ellos, cumplen ciertas propiedades. En este capítulo revisaremos los conjuntos de números más importantes y la aritmética definida sobre ellos.

1.1. Los Números Naturales ( ℕ).

Los Números Naturales son el primer conjunto que aparece en la naturaleza dado que corresponde a las primeras abstracciones que realiza el hombre al surgir los conceptos de "unidad" y de "cuenta", tanto en su historia como en la actualidad durante la infancia.
Los Números Naturales son un conjunto ordenado de infinitos elementos de los cuales el primero es la unidad o 1. Cualquier otro elemento puede ser formado a partir de la adición sucesiva de unidades. Así, 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1 = 1 + 1 + 1, etc. En notación de conjunto, los Números Naturales se definen como:

ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, .....}

donde # ℕ = ¥

Todo número natural tiene un sucesor, es decir, otro número que le sigue. Por ejemplo, el sucesor de 1 es 2, el de 10 es 11, el de 113 es 114, y en general, el sucesor de n es (n + 1). Todo número natural tiene un antecesor, es decir, otro número que le precede, menos el 1. Por ejemplo, el antecesor de 2 es 1, el de 10 es 9, el de 113 es 112, y en general, el antecesor de n es (n - 1).
Sobre el conjunto ℕ se definen las operaciones adición (+) y multiplicación (×), operaciones que tú debes manejar a la perfección. Sin embargo, las operaciones sustracción (-) y división (:) no siempre están definidas, pues hay casos en que dichas operaciones no dan como resultado un número natural.
A continuación definiremos algunos subconjuntos importantes de ℕ.

1. Los Números Pares.

Los Números Pares es un conjunto ordenado de cardinalidad infinita, cuyos elementos pueden dividirse exactamente por 2. Por comprensión, este conjunto se define

Los Números Pares = { x Î ℕ / x = 2n, n Î ℕ }

y por extensión sería

Los Números Pares = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, .... }

Todo número par tiene un sucesor par. Por ejemplo, el sucesor par de 2 es 4, el de 16 es 18, el de 412 es 414, el de x es (x + 2) y en general, el de 2n es (2n + 2). Todo número par tiene un antecesor par, salvo el 2. Por ejemplo, el antecesor par de 4 es 2, el de 16 es 14, el de 412 es 410, el de x es (x - 2) y en general, el de 2n es (2n - 2).

2. Los Números Impares.

Los Números Impares es un conjunto ordenado de cardinalidad infinita, cuyos elementos no son pares, es decir, no se pueden dividir exactamente por 2. Por comprensión, este conjunto se define
Los Números Impares = { x Î ℕ / x = 2n - 1, n Î ℕ }
y por extensión sería
Los Números Impares = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...... }
Todo número impar tiene un sucesor impar. Por ejemplo, el sucesor impar de 1 es 3, el de 17 es 19, el de 911 es 913, el de x es (x + 2) y en general, el de (2n - 1) es (2n + 1). Todo número impar tiene un antecesor impar, excepto el 1. Por ejemplo, el antecesor impar de 3 es 1, el de 17 es 15, el de 911 es 909, el de x es x - 2, y en general, el de 2n - 1 es 2n - 3.

3. Los Números Primos.

Los Números Primos es un conjunto de infinitos elementos formado por aquellos naturales divisibles exactamente sólo por 1 y por sí mismos. Así, el 3 es un número primo pero el 6 no lo es.
A continuación definimos este conjunto por extensión indicando los primeros 25 números primos.

Los Números Primos = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97... }

4. Los Números Compuestos

Los Números Compuestos es un conjunto de infinitos elementos formado por todos los naturales que no son primos, es decir, por aquellos que tienen más de dos factores o divisores. Por extensión, podemos escribir

Los Números Compuestos = { 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22,...}

5. Los Múltiplos de x (M(x))

Si x es un número natural cualquiera, el conjunto de los Múltiplos de x está formado por infinitos elementos que se obtienen al multiplicar x por cualquier número natural. En símbolos, este conjunto lo definimos como

M(x) = { y Î ℕ / y = nx, n Î ℕ }

Así, por ejemplo, la extensión de los múltiplos de 5 es el conjunto

M(5) = { y Î ℕ / y = 5n, n Î ℕ } = { 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, .... }