MOSAICOS Y TESELACIONES

Una pieza es teselante cuando es posible acoplarla entre sí con otras idénticas a ella sin huecos ni fisuras hasta recubrir por completo el plano. La configuración que en tal caso se obtiene recibe el nombre de mosaico o teselación.
Las teselaciones han sido utilizadas en todo el mundo desde los tiempo más antiguos para recubrir suelos y paredes, e igualmente como motivos decorativos de muebles, alfombras, tapices, etc... El artista holandés M.C. Escher se divirtió teselando el plano con figuras de distintas formas, que recuerdan pájaros, peces, animales....
Como es fácil de imaginar, la diversidad de las formas de las piezas teselantes es infinita. Los matemáticos y en particular los geómetras se han interesado especialmente por las teselaciones poligonales; incluso las más sencillas de estas plantean problemas colosales.
Cuando todos los polígonos de la teselación son regulares e iguales entre sí, se dice que la teselación es regular.
Ahora bien, sólo existen tres teselaciones o mosaicos regulares: la malla de triángulos equiláteros, el reticulado cuadrado como el del tablero de ajedrez y la configuración hexagonal, como la de los paneles.

Gabriela Vergara

Teselación regular

Si se mira un panal de abejas, se observa que está hecho a base de hexágonos regulares. Supongamos que la razón es que las abejas son animales muy organizados y que, por tanto, les gustan las teselaciones regulares por polígonos regulares. Entonces igualmente podrían haber utilizado (y también Borges para su Biblioteca) triángulos o cuadrados. Pero es que las abejas son, además de organizadas, muy ahorradoras. No les gusta usar más cera de la necesaria para fabricar sus celdillas, y la teselación hexagonal resulta ser la más económica.

Gabriela Vergara

Adición de triángulo

Gabriela Vergara

¿Cuál de los siguientes números está más lejos de 3/4 ?

a) 0,8
b) 0,75
c) 79/100
d) 9/16
e) 12/16
Gabriela Vergara

Si 2 + 4 + 6 = n, entonces 2 · 4 · 6 =

a) n
b) 2n
c) 3n
d) 4n
e) 12n

Gabriela Vergara

2.- Si se resta x al triple de 3 y se divide por el triple de x se obtiene 3, ¿cuánto vale x?
a) -9/8
b) -10/9
c) 8/9
d) 9/10
e) 3

Gabriela Vergara

Resuelva... Problemas

1.- Si a es la mitad de b, entonces 2a + b es:

I) 2b
II) 3a
III) 4a

a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo III
d) Sólo I y II
e) Sólo I y III

Gabriela Vergara

Nicolás Copérnico

Gabriela Vergara

Transformaciones isométricas

Isometria:
La palabra isometría quiere decir de igual medida por lo tanto, es lógico suponer que una transformación isométrica produce cambios en una figura que no altera su tamaño.
Cuando a una figura le aplicamos una simetría una traslación o una rotación obtenemos otra figura. La figura original y su imagen tienen la misma forma y tamaño,es decir,son congruentes.

Denominamos simetría a la propiedad de determinados cuerpos, funciones matemáticas y otros elementos en donde aplicando una regla de transformación efectiva sobre dichos elementos, no parece observarse cambio alguno.

Simetria axial

Es el movimiento que asocia a cada punto otro punto ya que el segmento es perpendicular y además las distancias entre los puntos son iguales, es decir, que la resta es la mediatriz del segmento. Un espejo es un buen arma para firmar si una figura es simétrica o no. Hace falta un eje. En la naturaleza aparece la simetría (las alas de una mariposa).

Simetría Central:
Es una transformación en la que a cada punto del punto se le asocia otro punto llamado imagen que cumple las siguientes
Condiciones:
*El punto y su imagen están a igual distancia de un punto llamado centro de simetría
*El punto, su imagen y el centro de simetría pertenecen a la misma recta.

¿Dónde podemos ver la simetría?
Podemos ver la simetría en distintas cosas como: En el reino animal, en el cuerpo humano,en el arte, En las figuras geométricas,en figuras planas,cuerpos Geométricos,en la naturaleza,en los virus y en la vida Cotidiana etc.

en el arte y los virus

Gabriela Vergara

Triángulo imposible

Gabriela Vergara

Encuentre las 9 caras...

Gabriela Vergara

¿cuántas columnas hay?... dos o tres

Gabriela Vergara

Propiedad fundamental de una proporción.

Sean a, b, c y d cuatro cantidades cualesquiera no nulas. a : b = c : d es una proporción si y sólo si el producto de los medios es igual al producto de los extremos. O sea,

a : b = c : d Û b · c = a ·

En una proporción distinguimos los medios y los extremos y cada término recibe el nombre de cuarta proporcional geométrica, si todos son distintos. Si existen dos términos iguales, éstos reciben el nombre de media proporcional geométrica, mientras que los dos distintos se denominan cada uno tercera proporcional geométrica.
b y c medios
a : b = c : d a, b, c, d son cuartas proporcionales geométricas
a y d extremos

a : b = b : c a y c son terceras proporcionales geométricas;
b es media proporcional geométrica

Razón.

En aritmética se entiende por razón a la comparación que se hace entre dos cantidades para determinar si ellas son iguales o si una es mayor que la otra. Dos cantidades pueden compararse por diferencia o por cuociente.

Números

N Ú M E R O S

Los números son entes abstractos que indican cantidad. Según su naturaleza, estos objetos se agrupan en conjuntos diversos, cada vez más amplios, que con algunas operaciones definidas sobre ellos, cumplen ciertas propiedades. En este capítulo revisaremos los conjuntos de números más importantes y la aritmética definida sobre ellos.

1.1. Los Números Naturales ( ℕ).

Los Números Naturales son el primer conjunto que aparece en la naturaleza dado que corresponde a las primeras abstracciones que realiza el hombre al surgir los conceptos de "unidad" y de "cuenta", tanto en su historia como en la actualidad durante la infancia.
Los Números Naturales son un conjunto ordenado de infinitos elementos de los cuales el primero es la unidad o 1. Cualquier otro elemento puede ser formado a partir de la adición sucesiva de unidades. Así, 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1 = 1 + 1 + 1, etc. En notación de conjunto, los Números Naturales se definen como:

ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, .....}

donde # ℕ = ¥

Todo número natural tiene un sucesor, es decir, otro número que le sigue. Por ejemplo, el sucesor de 1 es 2, el de 10 es 11, el de 113 es 114, y en general, el sucesor de n es (n + 1). Todo número natural tiene un antecesor, es decir, otro número que le precede, menos el 1. Por ejemplo, el antecesor de 2 es 1, el de 10 es 9, el de 113 es 112, y en general, el antecesor de n es (n - 1).
Sobre el conjunto ℕ se definen las operaciones adición (+) y multiplicación (×), operaciones que tú debes manejar a la perfección. Sin embargo, las operaciones sustracción (-) y división (:) no siempre están definidas, pues hay casos en que dichas operaciones no dan como resultado un número natural.
A continuación definiremos algunos subconjuntos importantes de ℕ.

1. Los Números Pares.

Los Números Pares es un conjunto ordenado de cardinalidad infinita, cuyos elementos pueden dividirse exactamente por 2. Por comprensión, este conjunto se define

Los Números Pares = { x Î ℕ / x = 2n, n Î ℕ }

y por extensión sería

Los Números Pares = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, .... }

Todo número par tiene un sucesor par. Por ejemplo, el sucesor par de 2 es 4, el de 16 es 18, el de 412 es 414, el de x es (x + 2) y en general, el de 2n es (2n + 2). Todo número par tiene un antecesor par, salvo el 2. Por ejemplo, el antecesor par de 4 es 2, el de 16 es 14, el de 412 es 410, el de x es (x - 2) y en general, el de 2n es (2n - 2).

2. Los Números Impares.

Los Números Impares es un conjunto ordenado de cardinalidad infinita, cuyos elementos no son pares, es decir, no se pueden dividir exactamente por 2. Por comprensión, este conjunto se define
Los Números Impares = { x Î ℕ / x = 2n - 1, n Î ℕ }
y por extensión sería
Los Números Impares = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...... }
Todo número impar tiene un sucesor impar. Por ejemplo, el sucesor impar de 1 es 3, el de 17 es 19, el de 911 es 913, el de x es (x + 2) y en general, el de (2n - 1) es (2n + 1). Todo número impar tiene un antecesor impar, excepto el 1. Por ejemplo, el antecesor impar de 3 es 1, el de 17 es 15, el de 911 es 909, el de x es x - 2, y en general, el de 2n - 1 es 2n - 3.

3. Los Números Primos.

Los Números Primos es un conjunto de infinitos elementos formado por aquellos naturales divisibles exactamente sólo por 1 y por sí mismos. Así, el 3 es un número primo pero el 6 no lo es.
A continuación definimos este conjunto por extensión indicando los primeros 25 números primos.

Los Números Primos = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97... }

4. Los Números Compuestos

Los Números Compuestos es un conjunto de infinitos elementos formado por todos los naturales que no son primos, es decir, por aquellos que tienen más de dos factores o divisores. Por extensión, podemos escribir

Los Números Compuestos = { 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22,...}

5. Los Múltiplos de x (M(x))

Si x es un número natural cualquiera, el conjunto de los Múltiplos de x está formado por infinitos elementos que se obtienen al multiplicar x por cualquier número natural. En símbolos, este conjunto lo definimos como

M(x) = { y Î ℕ / y = nx, n Î ℕ }

Así, por ejemplo, la extensión de los múltiplos de 5 es el conjunto

M(5) = { y Î ℕ / y = 5n, n Î ℕ } = { 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, .... }

Encuentre la solución...

1. La suma del par consecutivo de 5 con el par consecutivo de 6 es:

A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15


2. Los tres primeros múltiplos comunes de 4 y 7 son

A) 4, 7, 28
B) 14, 16, 28
C) 11, 28, 56
D) 28, 56, 84
E) 28, 56, 112


3. El mínimo divisor común, distinto de 1, entre 20 y 30 es

A) 10
B) 6
C) 5
D) 4
E) 2

4. El corazón de un niño de 10 años late aproximadamente 90 veces por minuto. ¿Cuántos latidos da, aproximadamente, en un día?

A) 5.400
B) 129.600
C) 64.800
D) 21.600
E) 2.160

5. Un agricultor tiene una parcela a orillas de la carretera Panamericana, justo en el kilómetro 24 al norte de Santiago. Para comprar árboles frutales, viaja hacia el sur exactamente 68 Km. ¿A qué distancia de Santiago está el criadero de árboles?

A) 92 Km al norte
B) 44 Km al norte
C) 92 Km al sur
D) 68 Km al sur
E) 44 Km al sur

6. ¿Cuál de los siguientes valores de x satisface la relación 0,048 > x > 0,009?

A) 0,48
B) 0,065
C) 0,048
D) 0,04
E) Ninguna de las anteriores

Encontrar el valor de k

En la expresión: xk – 2 = 3x , ¿para qué valor de k ocurre que no existe el valor de x?

A) 2
B) –2
C) –3
D) 3
E) 0

Términos Semejantes

TERMINOS SEMEJANTES
Los términos son semejantes cuando tienen el mismo factor literal. Los T. S. se pueden sumar o restar, sumando o restando sus coeficientes numéricos y conservando el factor literal.
Ejemplo:
El término 3xy y el término 2xy , son semejantes. (tiene factor literal iguales) y al sumarlo da 5xy
Reducce términos semejantes:
a) 3ab – b + 2ab + 3b
b) 3(a – b) + 2(c – d)

Ecuación de primer grado...

Resolución de ecuaciones de primer grado

Una ecuación es una igualdad que sólo se verifica para unos valores concretos de una variable, generalmente llamada x. Resolver una ecuación consiste en hallar los valores de la variable que hacen cierta la igualdad.Recuerda:Si un elemento está sumando en un miembro pasa al otro restando. Si está restando pasa sumado.Si un número multiplica a todos los elementos de un miembro pasa al otro dividiendo y si los divide pasa multipllicando.

Se llaman ecuaciones o igualdades en las que aparecen número y letras (incógnitas) relacionados mediante operaciones matemáticas.
Por ejemplo: 3x - 2 = 2x + 1
3x-2x =1+2
x= 3

Conjunto de Números

Los Números Naturales
Obviamente son los que empleamos para contar objetos de la Naturaleza, ¿le parece?
Empezando en 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11... y así sucesivamente hasta el + infinito; por que son infinitos los números naturales.

Los Números Enteros

Obviamente los números enteros son aquellos que no están divididos por otro número su palabra lo dice enteros. Este contempla los Naturales (los enteros positivos:1, 2, 3, 4, 5,... + infinito) y los enteros negativos, osea, los enteros con signo negativo: -1, -2, -3, -4. -5, -6, -7,... -infinito , pero ojo incluye el cero. Es un conjunto de números infinitos porque no los podemos contar todos.

Los Números Racionales

Los números racionales son aquellos que se pueden escribir como fracción, y tienen decimales finitos, pues ellos son una razón entre el numerdor y el denominador. Ejemplos: 1/2, 3/4, 5/10, etc. También es un conjunto de números infinitos, porque son demasiados los números que hay.

Los Números Irracionales

Obviamente no tienen razón, osea no se pueden escribir como fracción, porque tienen infinitos decimales, lo que significa que exiten números que los representan como: pi, fi, raíz de 2, etc. Otro conjunto más con números infinitos.

Los Números Reales

Estos Números son aquellos que abarca a todos los ya mencionados, es el conjunto de números naturales, enteros, racionales e irracionales. Claramente este conjunto es infinito puesto que está compuesto de 4 conjuntos infinitos.

Lea y responada¡

1) ¿Cuántos minutos hay entre las 11:41 y las 14:02?

2) ¿Cuál es el ángulo que forman las manecillas de un reloj si son las 12:15?

3) La fecha 8 de noviembre de 1988 tiene algo de especial. Si la escribimos 8-11-88, es fácil darse cuenta de que el día (8) multiplicado por el mes (11) da como resultado el año (88) ¿Cuántas fechas que cumplieran esta propiedad hubo en 1990?

4) ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un triángulo?

5) De todos los números que están entre los números 1 y 100 ¿Cuántos tienen el dígito 5?

6) Una niña en un examen se puso muy nerviosa y en un problema en el que se le pedía que dividiera entre 4 un número lo que hizo fue restar 4. Su resultado fue 48, si en lugar de restar, hubiera dividido ¿cuál hubiera sido su resultado?

7) ¿Cuál es el área de un cuadrado?

Si respondiste todo bien entonces puedes asistir a primero medio...

Sucesiones de números...

En matemáticas las sucesiones de números son una herramienta muy importante
I. Escribe los números que van en los puntitos supensivos:
a) 2, 4, 6, 8, 10,..., 14, 16,... , 20.
b) 1, 3,... , 7, 9, 11,..., 15, 17, ..., 21.
c) 5, 10, 15,... , 25, 30,..., 40, 45,... .
d) 3, 6, 9,..., 15, 18, 21, 24,..., 30.
e) 1, 2, 4, 8,..., 32, 64, .
f) 3, 6, 12,..., 48, 96, .
g) 4, 9, 14,..., 24, 29, 34,..., 44, 49.
h) 5, 12, 19, 26,..., 40, 47,..., 61, 68, 75, 82, 89,..., 103

Historia del Algebra...

¿Sabías que el álgebra que se estudia en secundaria es muy antigua?

Desde el siglo XVII aC. los matemáticos de Mesopotamia y de Babilonia ya sabían resolver ecuaciones de primero y segundo grado. Además resolvían también, algunos sistemas de ecuaciones con dos ecuaciones y dos incógnitas.

En el siglo XVI aC. los egipcios desarrollaron un álgebra muy elemental que usaron para resolver problemas cotidianos que tenían que ver con la repartición de víveres, de cosechas y de materiales. Ya para entonces tenían un método para resolver ecuaciones de primer grado que se llamaba el "método de la falsa posición". No tenían notación simbólica pero utilizaron el jeroglífico hau (que quiere decir montón o pila) para designar la incógnita.

Alrededor del siglo I dC. los matemáticos chinos escribieron el libro Jiu zhang suan shu ( que significaEl Arte del cálculo), en el que plantearon diversos métodos para resolver ecuaciones de primero y segundo grado, así como sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Con su ábaco (suan zí) tenían la posibilidad de representar números positivos y negativos.

En el siglo II, el matemático griego Nicómaco de Gerasa publicó su Introducción a la Aritmética y en ella expuso varias reglas para el buen uso de los números.

En el siglo III el matemático griego Diofanto de Alejandría publicó su Aritmética en la cual, por primera vez en la historia de las matemáticas griegas, se trataron de una forma rigurosa no sólo las ecuaciones de primer grado, sino también las de segundo. Introdujo un simbolismo algebraico muy elemental al designar la incógnita con un signo que es la primera sílaba de la palabra griega arithmos, que significa número. Los problemas de álgebra que propuso prepararon el terreno de lo que siglos más tarde sería "la teoría de ecuaciones". A pesar de lo rudimentario de su notación simbólica y de lo poco elegantes que eran los métodos que usaba, se le puede considerar como uno de los precursores del álgebra moderna.

En el siglo VII los hindúes habían desarrollado ya las reglas algebraicas fundamentales para manejar números positivos y negativos.

Siglo IX. Época en la que trabajó el matemático y astrónomo musulmán Al-Jwarizmi, cuyas obras fueron fundamentales para el conocimiento y el desarrollo del álgebra. Al - Jwarizmi investigó y escribió acerca de los números, de los métodos de cálculo y de los procedimientos algebraicos para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Su nombre latinizado dio origen a la palabra algoritmo que, usada primero para referirse a los métodos de cálculos numéricos en oposición a los métodos de cálculo con ábaco, adquirió finalmente su sentido actual de "procedimiento sistemático de cálculo". En cuanto a la palabra álgebra, deriva del título de su obra más importante, que presenta las reglas fundamentales del álgebra, Al-jabr wal muqabala.

En el siglo X vivió el gran algebrista musulmán Abu Kamil, quien continuó los trabajos de Al-Jwarizmi y cuyos avances en el álgebra serían aprovechados en el siglo XIII por el matemático italiano Fibonacci.Durante este mismo siglo, el matemático musulmán Abul Wafa al Bujzani, hizo comentarios sobre los trabajos de Diofanto y Al-Jwarizmi y gracias a ellos, los europeos conocieron la Arithmetica de Diofanto.

1202. Después de viajar al norte de África y a Oriente, donde aprendió el manejo del sistema de numeración indoarábigo, Leonardo de Pisa, mejor conocido como Fibonacci, publicó el Liber Abaci (Tratado del Ábaco) obra que en los siguientes tres siglos fue la fuente principal para todos aquellos estudiosos de la aritmética y el álgebra.

En el siglo XV, el matemático francés Nicolás Chuquet introdujo en Europa occidental el uso de los números negativos, introdujo además una notación exponencial muy parecida a la que usamos hoy en día, en la cual se utilizan indistintamente exponentes positivos o negativos.

En 1489 el matemático alemán Johann Widmann d´Eger inventó los símbolos "+" y "-" para sustituir las letras "p" y "m" que a su vez eran las iniciales de las palabras piu (más) y minus (menos) que se utilizaban para expresar la suma y la resta.

En 1525, el matemático alemán Christoph Rudolff introdujo el símbolo de la raíz cuadrada que usamos hoy en día: Este símbolo era una forma estilizada de la letra "r" de radical o raíz.

Entre 1545 y 1560, los matemáticos italianos Girolamo Cardano y Rafael Bombelli se dieron cuenta de que el uso de los números imaginarios era indispensable para poder resolver todas las ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado.

En 1557 el matemático inglés Robert Recorde inventó el símbolo de la igualdad, =.

En 1591 el matemático francés François Viète desarrolló una notación algebraica muy cómoda, representaba las incógnitas con vocales y las constantes con consonantes.

En 1637 el matemático francés René Descartes fusionó la geometría y el álgebra inventando la "geometría analítica". Inventó la notación algebraica moderna, en la cual las constantes están representadas por las primeras letras del alfabeto, a, b, c, … y las variables o incógnitas por las últimas, x, y, z. Introdujo también la notación exponencial que usamos hoy en día.

Encuentre la solución

1) Un hombre gasta 1/3 de su dinero y pierde 2/3 de lo que le quedó. Le quedan al final 12 monedas. ¿Cuántas monedas tenía al principio? Resp: 56 monedas tenía al principio

2) Para lograr que su hijo se interesara en el estudio de la aritmética el padre le ofrece lo siguiente: le pagará 8 céntimos por cada problema que resuelva bien y le cobrará 5 céntimos por cada uno que esté mal resuelto. Al final de 26 problemas ninguno de los dos le debe dinero al otro. ¿Cuántos problemas resolvió correctamente el hijo? Resp: Resolvió 10 problemas correctamente y 16 problemas mal resuelto

Juego 1

Los juegos de cálculo mental son buenos para desarrollar habilidades numéricas y de orden.

Acomoda estos números en cuatro grupos de dos números cada uno de manera que la suma de los dos números de cada grupo sea igual para los cuatro grupos.

19 .... 21 .... 35 .... 42 .... 58 .... 65 .... 79 .... 81

Cuadrados mágicos

¿ Q u é e s u n c u a d r a d o m á g i c o ?

Un cuadrado mágico es una cuadrícula de 3 x 3, o de 4 x 4, o de 5 x 5 o, en general, de n x n, en la que se acomodan ciertos números que cumplen que la suma de cualquier renglón, la suma de cualquier columna y la suma de cualquiera de las dos diagonales es siempre la misma.

¿ C u á l e s s o n l o s n ú m e r o s q u e s e d e b e n a c o m o d a r e n u n c u a d r a d o m á g i c o ?

- Si el cuadrado es de 3 x 3, entonces tendrá 9 casillas y los números que se acomodan en él son todos los números del 1 al 9
- Si el cuadrado es de 4 x 4, entonces tendrá 16 casillasy los números que se acomodan en él son del 1 al 16
- En general, si el cuadrado es de n x n, entonces tendrá n cuadrada casillasy los números que acomodaremos en él serán del 1 a n².

- En un cuadrado mágico de 3 x 3 debemos acomodartodos los números del 1 al 9 de maneraque la constante mágica sea 15.
- En un cuadrado mágico de 4 x 4 debemos acomodartodos los números del 1 al 16 de maneraque la constante mágica sea 34.
- En un cuadrado mágico de 5 x 5 debemos acomodartodos los números del 1 al 25 de maneraque la constante mágica sea 65.

Lógica

Piense y luego conteste...¿a ó b?

1) Ningún profesor es ignorante
2) Todas las personas ignorantes beben agua con jabón

¿Cuál es la conclusión correcta?
a) Ningún profesor bebe agua con jabón
b) Algunas personas que beben agua con jabón no son profesores.

Divisores

Un poco de matemática Pitagórica

Los divisores de un número son aquellos números que lo dividen de manera exacta. Por ejemplo:
-Divisores de 10 son: 1, 2, 5, 10
-Divisores de 24 son: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

N ú m e r o s .. p e r f e c t o s
Son aquellos números que son iguales a la suma de sus divisores propios. Por ejemplo: 6 es un número perfecto pues los divisores propios de 6 son: 1, 2, 3 y 1+2+3 = 6

N ú m e r o s .. p r i m o s
Son aquellos números cuyos únicos divisores son el 1 y él mismo. Por ejemplo:
7 es un número primo pues sus únicos divisores son 1 y 7
11 es un número primo pues sus únicos divisores son 1 y 11

Interesante...

Pregunté a Diego (10 años) y a Laura (8 años) cual era el número más grande, el mayor .
Respuesta unánime : El 1.
Como no lo entendí muy bien me lo explicaron : El 1 es el mayor de todos los números, el más grande, porque es el primero que ha nacido, ¿está claro?

Error... ¿Por Qué?

a + b = c
(4-3)(a+b)=(4-3)c
4a - 3a + 4b - 3b = 4c - 3c
4a + 4b - 4c = 3a + 3b -3c
4(a + b - c) = 3(a + b - c)
4 = 3

El error es evidente

Zapatos Extravagantes

Árbol con hambre...¡¡¡ah¡¡

Ilusión Optica..... ¿Ve Usted un mono?

imagenes creativas...

Desarrollando la imaginación... creatividad!!

Matemática e imaginación

“¿En qué se parece un cuervo a un pupitre?”
“En que hay una A en AMBOS”

Canción Teorema de Pitágoras

La canción del teorema de Pitágoras

“La matemática hermosa se enseña con el corazón”

1 Un conocido pensador viajando por Egipto un triángulo encontró con lados: tres, cuatro y cinco.
2 Viva el triángulo, rectángulo y señor Viva el triángulo medible con amor.
3 Sobre el ejemplo meditó: ¡recto era el ángulo! y lo generalizó al triángulo rectángulo.
4 Viva el triángulo, rectángulo y señor Viva el triángulo medible con amor.
5 Los cuadrados calculará de los catetos que ahora usa y el cuadrado obtendrá del lado hipotenusa
6 Viva el triángulo rectángulo y señor Viva el triángulo medible con amor
7 Pitágoras nos dejó una verdad fabulosa para poder hacer Geometría rigurosa
8 Viva el triángulo rectángulo y señor Viva el triángulo medible con amor

¿Qué es pi...?

¿Cuál es la diferencia entre CÍRCULO y CIRCUNFERENCIA?
El círculo es una figura con área, mientras que la circunferencia es sólo la orilla del círculo.
Haz este experimento: dibuja un círculo y traza alguno de sus diámetros; corta un cordón del tamaño del diámetro y verifica cuántas veces cabe el cordón sobre la circunferencia. Notarás que cabe tres veces y sobra un poquito.
Hazlo ahora con otra circunferencia. ¿Viste? Otra vez tres veces y un cachito. Interesante...

Traza otro círculo y divide lo que mide su circunferencia entre lo que mide su diámetro. (Puedes medir la circunferencia colocando un cordón sobre ella y luego midiendo el cordón.) ¿Tu resultado es parecido a 3.1416? Hazlo cuantas veces quieras: el resultado siempre se parece a 3.1416. Es decir, en ambos experimentos tenemos que el diámetro cabe tres veces en la circunferencia y sobra un cachito.
Estos resultados son sólo aproximaciones. El resultado exacto, , no es exactamente igual a 3.1416. Los matemáticos llaman al resultado de dividir lo que mide la circunferencia de un círculo entre lo que mide su diámetro. Este valor tiene un papel fundamental en las matemáticas.
Antes del siglo XVIII no se tenía un símbolo para esta división, lo que los matemáticos solían escribir eran frases como ésta: quantitas, in quam cum multiplicetur diameter, proveniet circumferentia (la cantidad que, cuando es multiplicada por el diámetro, resulta en la circunferencia).

La letra griega se utiliza desde 1706 para representar al resultado de dividir la circunferencia entre el diámetro de un círculo. es equivalente a la letra p de nuestro alfabeto y el matemático William Jones la escogió porque era la letra con la que empieza la palabra peripheria .

Probabilidad

Para ganarse la lotería
La probabilidad se cuantifica de 0 a 1 de acuerdo con los posibles resultados. Cuando es seguro que algo va a pasar se dice que tiene probabilidad 1; cuando es seguro que algo no va a pasar, se dice que tiene probabilidad 0. Por ejemplo, pensemos en una moneda que en el anverso tiene la imagen de una flor y en el reverso tiene la imagen de un árbol. Al lanzar la moneda, la probabilidad de que caiga flor o árbol es 1 porque son las dos únicas opciones que tenemos, pero la probabilidad de que salga una casa es 0 porque en ninguna de las caras aparece una casa.

Matematicas - Google Vídeo

Matematicas - Google Vídeo

Ley de los signos

Todos los habitantes de un pueblo están divididos en dos bandos enemigos. Así, los que viven ahí siempre siguen estas reglas:

. El amigo de mi amigo será mi amigo

· El amigo de mi enemigo será mi enemigo

· El enemigo de mi amigo será mi enemigo

· El enemigo de mi enemigo será mi amigo
Si al amigo lo marcamos con un + y al enemigo con un -, tendríamos
· (+)(+) = (+)

· (+)(-) = (-)

· (-)(+) = (-)

· (-)(-) = (+)

Operación Frase correspondiente
¿Amigo o enemigo?
(+8)(-5) =
El amigo de mi enemigo será mi enemigo
(+8)(-5) =(-40), entonces enemigo